มาเสริมกิจกรรมทางคณิตศาสตร์กัน

ในการพิสูจน์กฎต่างๆ ที่กล่าวมานั้น ความรู้เบี้องต้นที่นักเรียนควรจะเข้าใจก็คือ เมื่อ a.b.c. d......เป็นตัวเลขโดดการเขียนจำนวนที่เป็นตัวเลข 2 หลัก 3 หลัก 4 หลัก ฯลฯ โดยไม่ได้หมายถึงว่าตัวเลขโดดนั้นคูณกับ ตัวอย่างต่อไปนี้

ab	หมายถึง	10a + b (เช่น 49 จะหมายถึง 10 x 4 + 9)
abc	หมายถึง	100a + 10b + c
abcd	หมายถึง	1000a + 100b + 10c + d
XnXn-1...X4X3X2X1	หมายถึง	10n-1Xn + 10n-2Xn-1 + ...+ 103X4 + 102X3 + 10X2 + X1

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่ครูผู้สอนอาจให้นักเรียนหัดแสดงการพิสูจน์เองได้

การพิสูจน์ว่า...  จำนวนเต็มบวกที่กำหนดให้ใด ๆ จะหารด้วย 3 ได้ลงตัว ถ้าผลบวกของตัวเลขโดดทุก ๆ ตัวในจำนวนนั้นหารด้วย 3 ลงตัว   อาจทำได้ดังนี้

ให้จำนวนนั้นเขียนอยู่ในรูป   XnXn-1...X4X3X2X1  โดยที่

X1    เป็นตัวเลขโดดในหลักที่  1  (หลักหน่วย)

X2    เป็นตัวเลขโดดในหลักที่  2  (หลักสิบ)

X3    เป็นตัวเลขโดดในหลักที่  3  (หลักร้อย)

X4    เป็นตัวเลขโดดในหลักที่  4  (หลักพัน)

:              :

Xn-1    เป็นตัวเลขโดดในหลักที่  n-1

Xn    เป็นตัวเลขโดดในหลักที่  n

และ   X1 + X2 + X3 + X4 + ... + Xn-1 + Xn    หารด้วย 3 ลงตัว

เนื่องจาก   XnXn-1...X4X3X2X1	=   10n-1Xn + 10n-2Xn-1 + ...+ 103X4 + 102X3 + 10X2 + X1
แต่    10X2	=  {9 + 1} X2    =   9X2 + X2
102X3	=  {99 + 1} X3    =   99X3 + X3
103X4	=  {999 + 1} X4    =   999X4 + X4
:              :
10n-2Xn-1	=  {9999...999 + 1} Xn-1    =   {9999...999}Xn-1 + Xn-1
	(n-2) ตัว
และ  10n-1Xn	=  {9999...999 + 1} Xn    =   {9999...999}Xn + Xn
	(n-1) ตัว

ดังนั้น  XnXn-1...X4X3X2X1

=  {9999...999} Xn  +  {9999...999} Xn-1  +  ...  +  999X4  +  99X3  +  9X2  +  (X1 + X2 + X3 + X4 + ... + Xn-1 + Xn)

(n-1) ตัว                     (n-2) ตัว

แต่   X1 + X2 + X3 + X4 + ... + Xn-1 + Xn    หารด้วย 3 ลงตัว

และจะเห็นได้ว่า....

[{9999...999} Xn  +  {9999...999} Xn-1  +  ...  +  999X4  +  99X3  +  9X2]    หารด้วย 3 ลงตัว

(n-1) ตัว                     (n-2) ตัว

ดังนั้น  XnXn-1...X4X3X2X1      หารด้วย 3 ลงตัว

หมายเหตุ   จำนวนที่เขียนในรูป  9999...999  จะเขียนในรูปการกระจายได้เป็น   (9 x 10n-1)  +  (9 x 10n-2)  +  ...  +  (9 x 102)  +  (9 x 10)  +  9

n ตัว

การพิสูจน์กรณีทั่ว ๆ ไป ดังกล่าวข้าง อาจจะยากเกินไปสำหรับนักเรียนที่ได้คุ้นเคยกับการพิสูจน์ทางคณิ ตศาสตร์ ซึ่งอาจทำให้นักเรียนเกิดความเบื่อหน่าย ดังนั้นครูผู้สอนอาจจะให้นักเรียนแสดงการพิสูจน์ หรือแนะให้นักเรียนสูจน์กฎข้างต้น โดยเริ่มจากกรณีที่จำนวนที่กำหนดให้นั้นเป็นจำนวนที่มี 3 หลัก 4 หลัก หรือ 5 หลักก่อนก็ได้ เช่น

จำนวนเต็มบวก 4 หลัก หารด้วย 3 ลงตัว

จำนวนเต็มบวก 5 หลัก หารด้วย 4 ลงตัว

จากตัวอย่าง เป็นการแสดงการพิสูจน์ในกรณีที่จำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนที่มี 4 หลัก และ 5 หลักตามลำดับ ถ้าจำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนที่มากกว่า 5 หลัก นักเรียนก็อาจแสดงการพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน ซึ่งครูผู้สอนควรให้นักเรียนลองพยายามทำการพิสูจน์ด้วยกตนเองก่อนโดยที่ยังไม่ต้องแนะนำสิ่งใดเพิ่มเติม ให้นักเรียนแต่ถ้าเห็นว่านักเรียนไม่สามารถทำได้จริง ๆ เลยสักคนเดียว ครูอาจให้ข้อแนะนำเพิ่มเติมไปทีละน้อยก็ได้

การพิสูจน์กฎข้ออื่น ๆ ก็ทำได้ในทำนองที่คล้ายกับการพิสูจน์ที่ได้แสดงมาเป็นตัวอย่างข้างต้นแต่สิ่งสำคัญประการหนึ่งที่ครูผู้สอนควรยืดถือไว้ในใจก็คือ อย่ารีบแสดงตัวอย่างการพิสูจน์ให้นักเรียนดูก่อน เปิดโอกาสให้นักเรียนได้คิดแก้ปัญหาใหม่ ๆ ด้วยตนเองกอ่นจนสุดความสามารถ

การแสดงการพิสูจน์ดังกล่าวข้างต้นนั้น ถึงแม้ว่านักเรียนอาจจะทำตัวเองไม่ได้หมดทุกคน บางครั้งอาจจะมีเพียงสี่หรือห้าคนเท่านั้นที่ทำได้ และมีอีกหลายคน ที่เป็นได้เพียงผู้ทำความเข้าใจตามที่ครูอธิบายหรือแนะนำ แค่ย่างไรก็ตามการให้นักเรียนได้มีโอกาสฝึกหัดแก้ปัญหาใหม่ ๆ ด้วยตัวเองก่อนและมีบางคนทำได้สำเร็จ นับว่าเป็นประโยชน์อย่างมากทีเดียว

จะเห็นว่าปัญหาคณิตศาสตร์ หรือกฏเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์เล็ก ๆ น้อย ๆ ที่อาจพบเห็นกันอยู่จนเป็นเรื่องธรรมดา ครูผู้สอนอาจจะนำมาใช้เป็นเครื่องมือในการจัดกิจกรรมระหว่างการเรียนการสอนได้ ซึ่งผลที่ได้ก็ยังเป็นไปตามจุดประสงค์ของหลักสูตรวิชาคณิตศาสตร์

---

ที่มา : ดนัย ยังคง, วารสาร สสวท. ปีที่ 16 ฉ.4 ตค. - ธค. 2531