เกมคณิตศาสตร์ (2)

ผู้เขียนเคยเสนอเกมคณติศาสตร์ในลักษณะต่าง ๆ กัน เช่น เกมที่มีผู้เล่นคนเดียวเป็นผู้แก้ปัญหาที่ตั้งขึ้น ทั้งในรูปของโจทย์ปัญหา และปัญหาที่ต้องใช้อุปกรณ์ ซึ่งกล่าวได้ว่าเป็นเกมที่ผู้เล่นแข่งกับตัวเอง เกมที่มีผู้เล่น 2 คนแข่งขันกัน เพื่อหาผู้ชนะหรือผู้แพ้ ซึ่งผู้เล่นทั้งสองคนจะเล่นเกมในลักษณะเดียวกัน ครั้งนี้เป็นเกมคณิตศาสตร์ที่มีผู้เล่น 2 คน หรือมากกว่า 2 คน ซึ่งไม่อยู่ในรูปของการแข่งขัน แต่เป็นเกมในลักษณะที่คล้ายวิทยากล กล่าวคือ มีผู้เล่นคนหนึ่ง ซึ่งจะเรียกว่า ผู้ทาย และผู้เล่นคนอื่นที่เหลือเรียกว่า ผู้ตอบ ผู้เล่นที่เป็นผู้ทายนั้นจะแสดงเสมือนว่าเป็นผู้วิเศษ หรือมีตาทิพย์ หรือมีสมองจดจำเยี่ยมยอด หรือสามารถจะสั่งให้เกิดอะไรได้ตามที่ผู้ทายต้องการ ลักษณะของเกมประเภทนี้บางท่านอาจจะเคยได้ยินหรือได้เล่น ได้แก่ เกมทายอายุ ทายเงินในกระเป๋า ทายปี พ.ศ. ที่เกิด ฯลฯ

การเล่นเกมในลักษณะดังกล่าวมานี้นั้น ตามความเป็นจริงแล้ว ผู้ทายไม่ได้เป็นผู้วิเศษหรือผู้เก่งกาจแต่อย่างไร เป็นเพียงแต่ว่า ผู้ทายรู้หลักเกณฑ์ หรือทฤษฎีนั่นเอง จึงสามารถทายได้ เกมในลักษณะนี้ บางครั้งเมื่อผู้ทายแสดงไปเพียงครั้งเดียว ผู้ตอบอาจจะจับกฎเกณฑ์ได้ แต่ถ้าผู้ทายรู้จักดัดแปลงกฎเกณฑ์ตามหลักคณิตศาสตร์ ก็จะทำให้ผู้ตอบจับกฎเกณฑ์ได้ยากขึ้น

ตัวอย่างของเกมประเภทนี้ ได้แก่ เกมทายเลขบ้านและอายุ

ผู้ทายให้ผู้ตอบทำตามคำสั่งแต่ละขั้นตอน ดังนี้

ขั้นที่ 1
ให้ผู้ตอบนึกเลขบ้านไว้ (สมมติว่าผู้ตอบอยู่บ้านเลขที่ 48)
ขั้นที่ 2
คูณจำนวนที่นึกด้วย 2 ( 2 x 48 = 96 )
ขั้นที่ 3
บวกด้วย 5 ( 96 + 5 = 101 )
ขั้นที่ 4
คูณด้วย 50 ( 101 x 50 = 5050 )
ขั้นที่ 5
นำอายุของผู้ตอบไปบวก ( สมมติว่า 22 ปี 5050 + 22 = 5072 )
ขั้นที่ 6
บวกด้วย 365 ( 5072 + 365 = 5437 )
ขั้นที่ 7
เอา 615 ไปหักออก ( 5437 - 615 = 4822 )
ขั้นที่ 8
ให้ผู้ตอบบอกผลลัพธ์ที่ได้ ( 4822 )
ขั้นที่ 9
ผู้ทายบอกว่าตัวเลขในหลักหน่วยและหลักสิบคืออายุ และตัวเลขที่เหลือคือเลขบ้าน ( อายุคือ 22 บ้านเลขที่คือ 48 )

ตามตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า ผลลัพธ์สุดท้ายที่ผู้ตอบบอกผู้ทายจะเป็นตัวบ่งถึงคำตอบที่เห็นได้ชัดแจ้ง ซึ่งในกรณีนี้ ผู้ตอบอาจจะเห็นว่าผู้ทายไม่ได้เก่งเท่าที่ควร เพราะได้เห็นผลลัพธ์ ซึ่งแสดงถึงอายุและเลขบ้านไว้แล้ว ในทางตรงกันข้าม ถ้าหากผู้ตอบให้ผู้ทายทำตามขั้นตอนที่ผู้ทายเป็นผู้สั่งให้ทำ ผู้ตอบก็จะบอกอายุและเลขบ้านของผู้ทายได้เช่นกัน เกมนี้จะดูน่าเชื่อถือในความสามารถของผู้ทายได้มากขึ้นถ้าเพิ่มเทคนิควิธีบางอย่างเข้าไป เช่น ในขั้นที่ 8 แทนที่จะให้ผู้ตอบบอกผลลัพธ์ ผู้ทายอาจจะให้ผู้ตอบนำ 1001 (หรือจำนวนอื่น) ไปหักออกจากผลลัพธ์นั้นก่อน แล้วจึงให้ผู้ตอบบอกผลลัพธ์สุดท้าย จากตัวอย่างข้างต้น จะได้ 4822 - 1001 = 3821 เมื่อผู้ตอบบอกผลลัพธ์ว่า 3821 ผู้ทายก็นำ 1001 มาบวกกับผลลัพธ์นั้นในใจ จะได้ 4822 ซึ่งจะทำให้บอกอายุและเลขบ้านได้ โดยที่ผู้ตอบจะมองหากฎเกณฑ์ในการทายได้ยากขึ้น

ถึงตอนนี้ ท่านอาจสงสัยว่า เราใช้กฎเกณฑ์อะไรทางคณิตศาสตร์ในการเล่นเกมประเภทนี้ ท่านควรทดลองเล่นเกมข้างต้นนี้สัก 2-3 ครั้ง แล้วลองคิดดูซิว่า เราใช้กฎเกณฑ์หรือความรู้ทางคณิตศาสตร์อะไรที่ยืนยันได้ว่า เมื่อคำเนินการมาถึงขั้นที่ 8 แล้ว จะได้ตัวเลขที่แสดงถึงอายุและบ้านเลขที่ได้ทุกครั้ง ลองดูก่อนนะครับ
เป็นอย่างไรบ้างครับ เห็นกฎเกณฑ์ที่ใช้แล้วใช่ไหมครับว่าง่ายนิดเดียว ใช้ความรู้ไม่เกินระดับมัธยมต้น ก็พอจะพิสูจน์ได้โดยใช้เรื่องสมการ (Equation) และเอกลักษณ์ (Indetity)

ลองดูกันต่อไปว่า ท่านพิสูจน์ หรือค้นหากฎเกณฑ์ตามวิธีการดังนี้หรือเปล่า
เกมในลักษณะเช่นนี้มีอยู่มากมาย ซึ่งถ้าผู้ทายมีเทคนิคการทายที่ดีก็จะทำให้น่าสนใจมาก แต่ทั้งผู้เล่นและผู้ทายที่เล่นเกมนี้ควรจะฝึกหาหลักเกณฑ์หรือเกณฑ์ในทางคณิตศาสตร์ที่นำมาอ้างอิงกฎที่ใช้ในการทายให้ได้ด้วย ก็จะมีประโยชน์มากกว่าที่จะเล่นกันเพียงเพื่อความสนุกเท่านั้น เพราะนอกจากจะเป็นการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เรียนมาแล้ว อาจจะทำให้ค้นพบหลักเกณฑ์หรือเทคนิคในการเล่นเกมใหม่ ๆ ได้ด้วย

มีข้อสังเกตอย่างหนึ่ง ซึ่งผู้เล่นมักจะลืมหรือละเลยความสนใจไปก็คือ ข้อกำหนดหรือขอบเขตของกฎเกณฑ์ที่นำมาใช้ จนบางครั้งผู้เล่นเอง เมื่อเล่นไปแล้วเกิดข้อผิดพลาดเกิดขึ้น เนื่องจากผู้เล่นนำกฎเกณฑ์ไปใช้เกินขอบเขตที่กำหนดไว้ จากเกมข้างต้นที่กล่าวมา มีปัญหาที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือ ถ้าเลขบ้านที่ผู้ตอบคิดไว้เป็นเลขที่มากกว่า 2 หลัก หลักการคิดดังกล่าวจะยังคงใช้ได้หรือไม่ เพราะในการแสดงวิธีคิดนั้น ผู้เขียนได้แสดงเฉพาะในกรณีที่บ้านเลขที่เป็นเลข 2 หลักเท่านั้น ถ้าจะให้มั่นใจว่ากฎเกณฑ์เดียวกันนี้จะใช้ได้ ก็ควรจะมีการพิสูจน์กฎเกณฑ์ดังกล่าวในกรณีที่เลขบ้านเป็นเลข 3 หลักหรือ 4 หลัก ฯลฯ ด้วย ขอให้ผู้อ่านลองพิสูจน์กฎเกณฑ์ด้วยตนเองในกรณีที่เลขบ้านเป็นเลข 3 หลัก ( โดยการกำหนดให้เลขบ้านเขียนในรูป abc ซึ่งในที่นี้ไม่ได้หมายถึง a คูณกับ c แต่เป็นลัญลักษณ์แทนจำนวน ซึ่งมีค่าเป็น 100a +10 b +c )

ลองพิจารณาเกมทายเลขสามหลักดังต่อไปนี้

สมมติว่าผู้ตอบเขียนเลข 3 หลัก 1 จำนวน ผู้ทายจะทายว่าเป็นเลขอะไร โดยให้ผู้ตอบทำตามคำสั่งตามลำดับขั้นดังนี้

ขั้นที่ 1
เขียนเลข 3 หลักในกระดาษทด (อย่าให้ผู้ทายเห็น)
ขั้นที่ 2
คูณด้วย 2
ขั้นที่ 3
แล้วบวกด้วย 3
ขั้นที่ 4
นำผลลัพธ์ในขั้นที่ 3 มาคูณด้วย 5
ขั้นที่ 5
บวกด้วย 5
ขั้นที่ 6
แล้วคูณด้วย 10
ขั้นที่ 7
บอกผลลัพธ์ที่ได้ให้ผู้ทายรู้ ผู้ทายจะบอกได้ทันทีว่าผู้ตอบเขียนเลขอะไร

สมมติว่าผู้ตอบ ตอบว่าผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นที่ 7 เป็น 41000 ท่านทราบไหมว่าผู้ตอบเขียนเลข 3 ตัว เป็นเลขอะไร ลองคิดดู


ที่มา: ดนัย ยังคง, วิทยากรสาขาวิชาคณิตศาสตร์

วารสาร สสวท. ปีที่ 11 ฉ.3 เมย. - มิย. 2526