โมเดลไม่เป็นเชิงเส้นแบบยกกำลัง

ในความสัมพันธ์ของตัวแบบ แบบง่ายๆที่พบเห็นอย่างหนึ่ง คือแบบไม่เป็นเชิงเส้นแบบยกกำลัง

y  =   Axn

เมื่อ A และ n เป็นค่าคงตัว    และความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า Power law

หากเรามีชุดของข้อมูลที่แสดงความสันพันธ์แบบนี้ ระหว่าง x และ y เราก็คงต้องการหาค่า A และ n

เทคนิคในการหาค่า หรือสร้างความสัมพันธ์แบบใหม่คือใช้ความรู้เรื่องลอการิทึม มาช่วยเช่น

log y   =    log A + n log x

ถ้าเราให้  log y = Y และ log x =  X    ก็จะเขียนเป็นสมการ

Y  =   nX  +  log A

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่า เป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น ดังนั้น ชุดข้อมูลดังกล่าวนี้ ถ้าเราพล็อตค่า log y กับ log x ก็จะได้สมการเชิงเส้นโดยมีจุดติดกันที่ log A

นั่นคือ ถ้าหากพล็อตค่าลงในกระดาษกราฟแบบแกน x และแกน y เป็นสากล ก็จะได้กราฟเส้นตรง

ลองพิจารณาตัวอย่าง

x	1	2	3	4	5	6	7
y	1.00	1.19	1.32	1.41	1.5	1.57	1.63

ในกรณีนี้ถ้านำมาเขียนโดยให้ X = log x และ Y = log y ค่าที่ได้

x	1	2	3	4	5	6	7
X = log x	0	0.3010	0.4771	0.6021	0.6990	0.7782	0.8451

y	1.00	1.19	1.32	1.41	1.5	1.57	1.63
Y = log y	0	0.0755	0.1206	0.1492	0.1761	0.1959	0.2122

ดังนั้น เมื่อ พล็อตค่า ของ X คือ log x และ Y คือ log y บนกระดาษกราฟแบบเชิงเส้นกราฟที่ได้

จากกราฟที่ได้ มีความชัน    ผ่านจุด 0   ดังนั้นจึงเขียน สมการแทนกราฟได้

Y  =      x + 0

เมื่อ n =   และ  log A  =  0   เราจึงได้  A = 1    สมการของโมเดลนี้ได้แก่

y  =   x1/4

สิ่งที่น่าสังเกต คือ ความสัมพันธ์เชิงยกกำลังนี้มีลักษณะพิเศษคือ หากกำลัง > 1   กำลัง < 1   และกำลังเป็นตัวเลขติดลบ    ความสัมพันธ์เชิงตัวแปร x และ y เป็นดังรูป

 

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์