เกรเดียนท์(Gradient) และอัตรา (Rate)

หลายคนคงเคยได้ยินคำกล่าวถึงภูเขาสูงชันมีเกรเดียนท์ของความสูงมาก กระแสลมแรงเพราะมีเกรเดียนท์ของความดันอากาศสูง กลิ่นน้ำหอมกระจายไปทั่วบริเวณจนรู้สึกหอมฉุนเพราะมีเกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมสูง ในทางตรงกันข้าม เนินเขาที่มีความลาดชันต่ำย่อมแสดงว่ามีเกรเดียนท์ของความสูงน้อย กระแสลมอ่อน ๆ แสดงว่ามีเกรเดียนท์ของความดันอากาศน้อย และกลิ่นน้ำหอมที่กระจายไปทั่วบริเวณจนรู้สึกหอมจาง ๆ แสดงว่ามีเกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมน้อย จากสิ่งที่กล่าวมานี้สามารถนิยามคำว่า เกรเดียนท์ ได้ดังนี้

เกรเดียนท์ของปริมาณใด ๆ คือ อัตราส่วนระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลงต่อระยะทางที่เปลี่ยนแปลงไป

เมื่อ H = ระดับความสูงของพื้นที่
P = ความดันอากาศ
C = ความเข้มข้นของน้ำหอม
S = ระยะทาง

เกรเดียนท์ที่มีค่าเป็นบวก แสดงว่ามีปริมาณเพิ่มขึ้นเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้น เช่น ความดันอากาศที่กรุงเทพฯ 1,000 มิลลิบาร์ และความดันอากาศที่เชียงใหม่ 1,007 มิลลิบาร์ ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่ 700 กิโลเมตร เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่ คำนวณได้ดังนี้

G.P B-->C = (1007 - 1000) / (700-0)
= 7/700
= 1/100 มิลลิบาร์/กิโลเมตร

หมายความว่า เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่มีค่าเพิ่มขึ้น 1 มิลลิบาร์ ต่อระยะทางที่เพิ่มขึ้น 100 กิโลเมตร

ในทางตรงกันข้ามเกรเดียนท์ที่มีค่าเป็นลบ แสดงว่ามีปริมาณลดลงเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้น เช่น เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างเชียงใหม่ถึงกรุงเทพฯ คำนวณได้ดังนี้

G.P C-->B = (1000 - 1007)/(700-0)
= -7/700
= -1/100 มิลลิบาร์/กิโลเมตร

หมายความว่า เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างเชียงใหม่ถึงกรุงเทพฯ มีค่าลดลง 1 มิลลิบาร์ต่อระยะทางที่เพิ่มขึ้น 100 กิโลเมตร

ในกรณีเกรเดียนท์ของระดับความสูง ก็เช่นเดียวกันกับเกรเดียนท์ของความดันอากาศ เกรเดียนท์จากระดับความสูงที่สูงมากลงมายังระดับความสูงที่น้อยกว่าจะมีค่าติดลบ ซึ่งในทางตรงกันข้ามเกรเดียนท์จากระดับความสูงน้อยขึ้นไปยังระดับความสูงที่สูงกว่าจะมีค่าเป็นบวก

เกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมเป็นบวกเมื่อคิดจากบริเวณที่มีกลิ่นหอมน้อยไปยังบริเวณที่มีกลิ่นหอมมาก และเกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมมีค่าติดลบเมื่อคิดจากบริเวณที่มีกลิ่นหอมมากไปยังบริเวณที่มีกลิ่นหอมน้อยกว่า

เกรเดียนท์ของปริมาณใด ๆ ต่อระยะทางที่เพิ่มขึ้นสั้นมาก ๆ จนเกือบเป็นจุด เรียกว่า อนุพันธ์เทียบกับระยะทาง (Derivative with respect to distance) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงของปริมาณใด ๆ ณ ตำแหน่งนั้นต่อระยะทางที่เปลี่ยนแปลงไปสั้นมากจนเกือบเป็นจุด

ในกรณีที่มีการเปลี่ยนแปลงปริมาณใด ๆ ต่อเวลาที่เปลี่ยนแปลงไป กรณีนี้จะไม่เรียกว่า เกรเดียนท์ แต่เรียกว่า อัตรา (Rate) เช่น การเดินทางระหว่างกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่ โดยรถยนต์จะใช้เวลา 7 ชั่วโมง อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อเวลา

(S2-S1) / (t2-t1) = (700-0)/(7-0)
= 100 กิโลเมตร/ชั่วโมง

เนื่องจากเป็นการเปลี่ยนแปลงระยะทางที่เป็นช่วงยาวไม่เป็นจุด เช่นเดียวกันกับการเปลี่ยนแปลงเวลาที่เป็นช่วงยาวถึง 7 ชั่วโมง มิใช่การเปลี่ยนแปลงที่เวลาใดๆ จึงเรียกว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อเวลาของการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหม่นี้ว่าอัตราเร็วเฉลี่ย

อัตราการเพิ่มขึ้นของความดันอากาศที่เชียงใหม่เพิ่มขึ้นจาก 1,0007 มิลลิบาร์ เป็น 1,021 มิลลิบาร์ ตั้งแต่เวลา 19:00 นาฬิกา ถึงเวลา 21: 30 นาฬิกา หมายถึง อัตราเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นของความดันอากาศที่จังหวัดเชียงใหม่

= (1,021 - 1,007) / (21:30 - 19:00)
= 14 มิลลิบาร์ / 3.5 ชั่วโมง หรือเท่ากับ 4 มิลลิบาร์ต่อชั่วโมง

ในกรณีนี้เป็นการเพิ่มขึ้นเฉลี่ย เนื่องจากในช่วงแรกอาจมีการเพิ่มขึ้นมากแล้ว เพิ่มขึ้นน้อยลงในช่วงหลัง หรืออาจมีการเพิ่มขึ้นเท่ากันตลอดเวลา หรือมีการเพิ่มขึ้นในช่วงแรกน้อย แต่เพิ่มขึ้นในช่วงหลังมากก็ได้

ถ้าต้องการทราบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาณใดๆ ขณะนั้นเป็นเท่าใด ช่วงเวลาที่เปลี่ยนแปลงไปจะต้องสั้นมากจนเกือบเป็นศูนย์ เรียกการเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลาที่สั้นมากนี้ว่า อนุพันธ์เทียบกับเวลา (derivative with respect to time)

การเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดๆ เฉพาะตำแหน่งที่กำหนด เมื่อเวลาเปลี่ยนแปลงน้อยมาก เรียกว่า อนุพันธ์เทียบกับเวลาหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาณตามเวลา ณ ตำแหน่งที่กำหนด การเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดๆ เฉพาะเวลาที่กำหนดเมื่อตำแหน่งเปลี่ยนแปลงน้อยมาก เรียกว่า อนุพันธ์เทียบกับระยะทางหรือเกรเดียนท์ของการเปลี่ยนแปลงปริมาณจามระยะทาง ณ เวลาที่กำหนด

ที่มา: เอกสารประกอบการสอน มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ 2542, วิชาบูรณาการ
หมวดการศึกษาทั่วไป รหัสวิชา 999211 คณิตศาสตร์และคอมพิวเตอร์ในชีวิตประจำวัน